立方差公式 数学公式
昨天有学生问我一道题:在实数范围内解方程组:
课间休息时并没有做出来,但我却记得自己做过类似的一个题,不过下面不是5次方,是立方:
这个题要简单点,我们先说这个题,由二项式定理(即杨辉三角,可参见前面文章——从二项式定理到多项式定理)
可知:
利用这个公式经过适当的配凑,可以解出 xy ,从而解出方程:
又由二项式定理知:
用这个公式经过适当配凑仍能在第一个题中解出 xy ,从而解出方程:
当然也可以用和差换元来解这两个题:
另外还有一个题也有点相似,在实数范围内求值:
眼力好的人应该可以看出,这个题就是上面第二个方程组换了个方式再出现。
上面题目的解题过程中用到了立方差公式:
相应的还有立方和公式:
立方和、立方差公式实际上都来自下述公式:
例如,还可以有:
前面解方程我们有强调在实数范围内求解,因为如果在复数范围内,根据代数基本定理, n 次方程一定有 n 个根(算上重根)。
在复平面中复数可以写作三角形式: (r为 z 的模长, θ 为辐角),根据棣莫弗公式,两个复数相乘等于模长相乘,角度相加(可参见前面文章——虚数的意义)。这样我们还可以得到:
若则 ,反过来我们就可以给任意复数开 n 次方:
若则
共 n 个根。
下面举个简单例子:
当然在复数范围内,一元二次方程 Δ<0 时也是有解的:
方程 ,当 Δ<0 时:
上面解方程组,其实我们用了构造配凑的思想,数学中有一些十分巧妙的构造,例如解方程常用的“和差对偶构造”,三角函数中常用的“互余对偶构造”,复数中的“单位化共轭构造”等,我们举一例来说明:
上面方法二便是“单位化共轭构造”,对这个题来说这个方法绕了点,但却能从中领悟领悟数学的奇妙。
当然我们也能用“互余对偶构造”来解这个题,如下:
最后来看个“和差对偶构造”的例子:
解方程:
今天就先说到这,数学就是这样,有时我们做一个题就能勾起自己以往遇到的其他同类的题,放在一起我们又会得到一些新的思考,虽然很多与当前的这个题目已无太大关系,然而做数学题我们并不能只是关心当前的答案,当你兜了一大圈子而又最终形成逻辑的闭环,你会陡然惊叹于数学的神奇,这大概就是数学的奥妙吧。